sábado, 17 de julio de 2010

Matemática... ¿Estás ahí?

Hace unos días terminé de leer el libro Matemática... ¿Estás ahí? de Adrián Paenza.

Realmente está muy bueno, vale la pena leerlo. Se puede bajar (legalmente, para uso personal) del sitio de la Universidad de Bs. As., junto con el resto de los libros de la serie (cinco en total, pero por ahora solo leí el primero).

Me tomo la libertad de reproducir acá un fragmento, donde demuestra por el absurdo que todos los números naturales son "interesantes".
Números interesantes
Voy a probar ahora que todos los números naturales son números “interesantes”. Claro, la primera pregunta que surge es: ¿qué quiere decir que un número sea interesante? Vamos a decir que un número lo es cuando tiene algún atractivo, algo que lo distinga, algo que merezca destacarlo de los otros, que tenga algún borde o alguna particularidad. Creo que todos entendemos ahora lo que quiero decir con interesante. Ahora, la demostración.
El número uno es interesante porque es el primero de todos. Lo distingue entonces el hecho de ser el más chico de todos los números naturales.
El número dos es interesante por varias razones: es el primer número par, es el primer número primo. Creo que con estos dos argumentos ya podemos distinguirlo.
El número tres también es interesante, porque es el primer número impar que es primo (por elegir una razón de las muchas que habría).
El número cuatro es interesante porque es una potencia de dos.
El número cinco es interesante porque es un número primo. Y de aquí en adelante deberíamos ponernos de acuerdo en que cuando un número es primo, ya tiene una característica fuerte que lo distingue y lo podríamos considerar interesante sin buscar otros argumentos.
Sigamos un poco más.
El número seis es interesante porque es el primer número compuesto (o sea, no es un número primo) que no sea una potencia de dos. Recuerde que el primer número compuesto que apareció es el cuatro, pero es una potencia de dos.
El número siete es interesante, y no hace falta argumentar más porque es primo.
Y así podríamos seguir. Lo que quiero probar con ustedes es que:
“Dado un número entero positivo cualquiera siempre... siempre... hay algo que lo transforma en ‘interesante’ o ‘atractivo’ o ‘distinguible’”.
¿Cómo hacer para probar esto con todos los números, si son infinitos? Supongamos que no fuera así. Entonces, eso quiere decir que hay números que llamaremos no interesantes. A esos números los ponemos en una bolsa (y supondremos que esta bolsa no está vacía). Es decir, tenemos una bolsa llena de números no interesantes. Vamos a ver que esto nos lleva a una contradicción. Esa bolsa —como todos los números que contiene son números naturales, o sea, enteros positivos— tiene que tener un primer elemento. Es decir, un número que sea el menor de todos los que están en la bolsa.
Pero entonces, el supuesto primer número no interesante se transforma en interesante. El hecho que lo distingue es que sería el primero de todos los números no interesantes, una razón más que suficiente para declararlo interesante. ¿No les parece? El error, entonces, provino de haber pensado que había números no interesantes. No es así. Esa bolsa (la de los números no interesantes) no puede contener elementos, porque si los tiene, alguno tiene que ser el primero, con lo que pasaría a ser interesante un número que por estar en la bolsa debería ser no interesante.
MORALEJA: “Todo número natural ES interesante”.
Simplemente genial :)

6 comentarios:

  1. Es un gran libro, la colección "Ciencia que ladra..." es una gran colección, muy recomendable.

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  2. Fa...
    Cuando empecé a leer la nota creí que iba a ser un poco mas "interesante"... He visto cosas mas buenas de Paenza en Alterados por pi...

    Esperaba algo mas...

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  3. Roberto:

    Lamento que no te haya parecido interesante.

    De todas formas, si te gusta Alterados por PI, te debería gustar también el libro...

    La genialidad de la demostración, según yo lo veo, está en que es un ejemplo de lo que es una demostración por el absurdo, sin usar ninguna propiedad específica de los números.

    Este tipo de demostración se usa muchísimo, por ejemplo para demostrar que el conjunto de números primos no está acotado, o para demostrar que el número √2 no es racional...

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  4. Supongo que ésta fue la fuente citada por el autor del libre ;)

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  5. No funcionó el link que puse en el comentario anterior. Lo copio a continuación como texto plano.

    http://blogs.msdn.com/b/ericlippert/archive/2006/11/28/every-number-is-special-in-it-s-own-special-way.aspx

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  6. Fede:

    Yo no me voy a meter en detalles de derechos de autor, que se peleen ellos ;), pero el libro tiene ©2005, mientras que la nota en el blog es de noviembre de 2006...

    PD: por cierto, muy recomendable el blog de Eric Lippert

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