viernes, 4 de junio de 2010

Todos los resultados posibles

El otro día, hablando con unos amigos que organizamos una penca para el mundial, uno de ellos (el que la organiza...) decía que él iba a ganar porque iba a hacer todas las pencas posibles. Como no puede perder, entonces no necesita poner la plata, porque seguro se va a quedar con el premio.

Más allá de que esta jugada es peligrosa, porque si bien no puede perder puede empatar, ¿cuántas son todas las pencas posibles? O dicho de otra forma, ¿cuantos son los resultados posibles en todos los partidos de la primer fase del mundial?

Veamos primero cuantos resultados posibles hay para un partido dado. Para eso, veamos cuantos resultados posibles hay para una cantidad de goles dada:
  • con cero goles, hay un solo resultado posible: 0 a 0
  • con un gol, hay dos resultados posibles: 1 a 0 o 0 a 1
  • con dos goles, hay tres resultados posibles: 2 a 0, 1 a 1 o 0 a 2
  • ...
  • con N goles, hay N+1 resultados posibles: N a 0, N-1 a 1, ..., 1 a N-1, 0 a N
Por lo tanto, todos los resultados posibles están dados por la suma desde N = 0 hasta Nmax, de N+1, o lo que es lo mismo, la suma desde N = 1 hasta Nmax+1 de N, que es igual a (Nmax+1)(Nmax+2)/2.

Obviamente, si lo vemos desde el lado matemático, el número Nmax no está acotado, por lo que la sumatoria da infinito. Desde el punto de vista deportivo, sabemos que la cantidad de goles no puede ser un número cualquiera. ¿Cuál es ese número? Es difícil de decir, pero creo que si decimos que Nmax = 9 estamos más que cubiertos. No creo que vayan a haber partidos con más de 9 goles.

Entonces, para cada partido tenemos (9+1)(9+2)/2 = 55 resultados posibles.

En la primer fase del mundial, tenemos un total de 32 partidos. Como los resultados son independientes en cada partido, la cantidad de resultados posibles para todos los partidos es 5532 = 4,92x1055.

Si cada penca vale $100 = USD5, entonces el total que se debe pagar para jugar todas las pencas posibles es de USD2,46x1056.

Teniendo en cuenta que el PBI de Estados Unidos es de USD1,47x1013, se necesitarían solamente 1,67x1043 Estados Unidos para pagar todas las pencas...

Así que, Alejandro, no vale que juegues todas las pencas :)

Pero seamos más conservadores... Supongamos que solo me interesa acertar ganador o empate en todos los partidos, sin necesidad de acertar el resultado exacto. Entonces para cada partido tengo 3 posibilidades (1 a 0, 0 a 0 o 0 a 1), y la cantidad total de pencas es de 332 = 1,85x1015, o en plata, USD9,25x1015, que es unas 630 veces más que el PBI de Estados Unidos...

10 comentarios:

  1. Lindo calculo..

    Lo mas realista, seria ponerle un tope a los goles que puede hacer un equipo en un partido.
    Si pones que Uruguay no puede hacer mas de tres goles en un partido, se limita mucho las posibilidades..

    Otra cosa:
    Brasil/Costa de Marfil (sin su idolo) puede terminar en mas de 9 goles.

    ResponderEliminar
  2. Sí, se limita, pero igual resulta imposible jugar a todas las posibilidades...

    ResponderEliminar
  3. ya lo discutimos... y estas errado totalmente.

    no tengo que jugar todas las combinaciones, solo las combinaciones de todos los resultados de todos los jugadores de la penca.

    Es decir, si en concepto juegan 20. No todos van a apostar 20 resultados diferentes. Digamos que para Francia -Uruguay hay solo dos resultados entre todas las pencas... asi, para cada partido hay entre todos los posibles resultados, solo se mencionan dos o tres. Supongamos tres.

    entonces, son 32 partidos, a cada partido tengo que hacer la combinatorio de 3 resultados posibles. Pero no tengo que hacer todas las combinaciones posibles en cada partido.

    SOLO tengo que jugar a cada combinacion de cada resultado de los 20 apostadores.

    Asi... son 3 (cantidad de resultados mencionados) elevado a la cantidad de participantes.

    eso es 3 a la 20. a $5 la penca, son solo 17433 millones de dolares.

    Para ganarme 2000 pesos...

    el riesgo es que algun apostador acierte exactamente todos los resultados , en ese caso le tendria que pagar 8716 millones de dolares (menos 1000 pesos)


    Pero el que no arriesga, no gana!

    ResponderEliminar
  4. Alejandro:

    Creo que está mal la cuenta que hiciste:

    >Asi... son 3 (cantidad de resultados mencionados) elevado a la cantidad de participantes. eso es 3 a la 20.

    La fórmula sería el producto de la cantidad de resultados distintos de cada partido, en las 20 pencas que hayan.

    Si en un partido tengo que en las 20 pencas aparece un solo resultado => ese partido multiplica por uno.

    Si aparecen dos resultados distintos => multiplica por 2.

    Así sucesivamente. Si tenés 20 resultados distintos en las 20 pencas (parece difícil) => ese partido multiplica por veinte.

    Al hacer 3^20 (en realidad es 3^20 x 1^12) lo que estás diciendo es que hay 20 partidos que tienen 3 resultados distintos, y 12 más que tienen un solo resultado posible.

    Me parece que te estás quedando corto... esos 12 partidos no multiplican todos por uno.

    ResponderEliminar
  5. Alejandro: Si el segundo puesto se lleva el 10% del pozo te doy la razon y me anoto.

    ResponderEliminar
  6. Que pedo que me hice!!!

    Che y con esto de la “teoría de pencas” (digno de Nash), ¿les queda tiempo para hablar de fútbol?

    ResponderEliminar
  7. Algo interesante de las pencas en Australia es que le dan un porcentaje a los primeros cuatro y al que sale último, que básicamente recupera la plata.

    ResponderEliminar
  8. Andrés: Justamente, todo esto es para cambiar un poco de tema, porque si no de lo único que se habla es de futbol...

    ResponderEliminar
  9. Jaja muy bueno esté calcula de probabilidad, yo estoy organizando una penca para la Copa América en kapyvara.blogspot.com y desde luego que Alejandro Rinaldi le hago precio por mayor :)
    Es más ya mismo le mando un privado para invitarlo.

    Saludos
    Kapyvara

    ResponderEliminar